Figuras y Números Mágicos

Sala de Arte: Alberto Durero

El Vengador de Turing

Código Da Vinci: Aventura Digital

Alberto Durero

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Alberto Durero

Alemania, 21 mayo 1471 – 6 abril 1528
Qué es o sea la belleza, lo ignoro. Nadie puede saberlo, sino Dios

Máximo exponente del Renacimiento germánico, Alberto Durero nació con una habilidad y pasión innatas por el arte plástico. Su técnica predilecta fue el estampado de dibujos tallados en madera sobre papel, trabajos que le hicieron codearse a los 20 años con los principales artistas de Europa, como Leonardo y Raphael. Sus grabados, de factura impecable y realismo asombroso, le permitieron trabajar para la monarquía y la iglesia muy joven. Al estar en la élite intelectual, se codeó con los más grandes artistas, pensadores, políticos y religiosos de su momento. A los 34 años ya era considerado un genio en todo el continente, sobre todo en Italia, donde vive unos años y se empapa del ambiente, deseando al final realizar un tratado artístico en alemán para el disfrute y la educación de los artistas de su tierra.

Combinó su más bien escaso trabajo como pintor con el grabado y el dibujo, de los que fue indiscutible maestro. SusVier Bücher von menschlicher Proportion (Cuatro libros sobre las proporciones humanas, 1528) son de estudio obligado para cualquiera que pretenda dominar estas disciplinas. Aparte de sus grabados, produjo cuadros al óleo durante toda su carrera y realizó un aporte conceptual y técnico de gran riqueza a la pintura y la simbología religiosa. En los tiempos en los que la imprenta empezaba a expandirse, sus grabados viajaron por toda Europa, alcanzando una fama sin precedentes en un artista alemán. El arte y la historia occidental tienen una gran deuda con Durero, no sólo por la influencia de sus obras y su Teoría del arte, sino porque dejó documentados minuciosamente miles de detalles de su vida y obra.

Zona de Autor

Sala de Arte: Alberto Durero

Art-Puzzle

Obra Escondida - Autor: Alberto Durero

Utiliza la biografía incluida en la Ficha del Artista y más información en Internet, contesta correctamente las cuestiones planteadas sobre el autor y su obra. Finalmente, introduce el código obtenido tras resolver el Art-Puzzle con la Obra escondida.

Cuadrados y Figuras Mágicas

Sala de Arte: Alberto Durero

Código Da Vinci: El Vengador de Turing

Uno de los grabados más famosos de Durero es Melancolía I, que se encuentra en la Galería Nacional de arte de Karlsruhe (Alemania). Este grabado, realizado en 1514, está cargado de misticismo, y todas las figuras que aparecen en él tienen un simbolismo.

Es la imagen del espíritu creador del hombre a solas con sus pensamientos internos y un compás en una mano; la escalera de siete peldaños apoyada en la construcción de algo por terminar; un poliedro irregular de gran volumen que oculta un caldero en llamas; el Cupido sobre una piedra de molino que parece escribir en una tablilla; el perro dormido junto a una esfera, clavos, una sierra, una regla y herramientas de carpintero; la arena que cae del reloj y la balanza mostrando el equilibrio oscilante vacío…

Como puede observarse, el cuadro incluye numerosos elementos matemáticos. Pero de todos ellos, el más significativo es su cuadrado mágico de orden cuatro, el primero publicado en Europa. Consiste en una tabla con el mismo número de filas y columnas donde se disponen los dieciséis primeros números naturales sin repetir ninguno y en el que la suma de sus columnas, filas y diagonales es siempre la misma constante mágica: 34. Existen muchas otras combinaciones dentro del cuadrado que suman esa misma constante mágica. Además, y como otro detalle matemático del autor, las dos cifras centrales de la última fila son el año de creación de la obra.

Se obtiene esa constante al sumar todas sus filas: 34

Se obtiene esa constante al sumar todas sus columnas: 34

Se obtiene esa constante al sumar las diagonales: 34

Se obtiene esa constante al sumar las cuatro esquinas y los cuatro números centrales del cuadrado: 34

Se obtiene esa constante al sumar los números de las cuatro esquinas 2×2 en las que puede dividirse el cuadrado: 34

Se obtiene esa constante al sumar los dos números centrales de la primera y última fila o de la primera y última columna: 34

Se obtiene esa constante al sumar los números de las cuatro esquinas de los cuadrado 3×3 en los que puede dividirse la figura: 34

Sucesiones y Recurrencia

Sala de Arte: Alberto Durero

Código Da Vinci: El Vengador de Turing
FIBONACCI: NATURALEZA Y ARTE

La Sucesión de Fibonacci en la Naturaleza

Una sucesión es un conjunto de elementos que se forman (con excepción del primero) mediante una ley o regla determinada. A los elementos de la sucesión se les llama términos, que suelen denotarse con una letra a y un subíndice que indica el lugar que ocupa en la sucesión: a1, a2, a3, etc. El elemento que ocupa el lugar n se denomina término n-ésimo, y se representa como an. Existen diversas formas de construir sucesiones:

  • Método descriptivo: Se escriben todos los elementos de la sucesión ordenados o mediante una característica que los relaciona.
  • Método recurrente: Una sucesión es recurrente o definida por recurrencia cuando cada término, comenzando por uno dado, se define a partir de los anteriores.
  • Método algebraico: En este método, válido sólo para las sucesiones numéricas, cualquier término de la sucesión queda definido en función de la posición que ocupa. Llamamos término general de la sucesión an al elemento que nos otorga dicha expresión algebraica según su posición n.

1. Sucesiones gráficas

Sucesiones gráficas

Se generan de forma descriptiva (siguiendo un patrón determinado) o de forma recursiva, donde cada elemento se relaciona con el anterior siguiendo un patrón de composición:

En esta sucesión, cada elemento se forma añadiendo dos nuevas ramas a cada una de las anteriores pero con una longitud que es la mitad de las ramas inmediatamente anteriores.

En esta sucesión, cada muñeco se obtiene a partir del anterior teniendo en cuenta los giros de 45º que realizan sus extremidades izquierdas y derechas alternativamente.

2. Sucesiones numéricas

Sucesiones numéricas

Se trata de sucesiones cuyos elementos son números. Son las más conocidas y habituales, y pueden definirse utilizando todos los métodos anteriormente descritos. Observa, por ejemplo, la sucesión de los números impares:

  • Método descriptivo: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …
  • Método recurrente: Cada término se puede obtener sumando dos al anterior, luego puede expresarse de la forma: a1=1 ; an=an-1+2.
  • Método algebraico: Cada término puede expresarse según su posición n de la forma: an=2n+1.

Entre las sucesiones numéricas más conocidas, destacan las siguientes:

Sucesiones o progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión definida por recurrencia en la cual cada término, con excepción del primero, es igual al anterior más una cantidad constante d llamada diferencia de la progresión:

an=an-1+d

Si la diferencia es positiva, la progresión aritmética es creciente y si es negativa la progresión aritmética es decreciente.

Sucesiones o progresiones geométricas

Una progresión aritmética es una sucesión definida por recurrencia en la cual cada término, con excepción del primero, es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante r llamada razón de la progresión:

an=an-1·r

Si la razón es mayor que 1, la progresión geométrica es creciente, y si es menor que 1, es decreciente.

Sucesión de Fibonacci

En esta sucesión, definida por recurrencia, cada término, con excepción de los dos primeros, se obtiene sumando los dos anteriores:

a1=1 ; a2=1

an=an-1+an-2

Esta sucesión es una de las más conocidas y utilizadas por sus innumerables aplicaciones.

3. Sucesiones de letras

Sucesiones de letras

Se trata de sucesiones cuyos elementos son letras. Se definen a partir de la asociación de cada una de ellas con los números naturales que corresponden a su posición en el abecedario. Observa un ejemplo:

SUCESIONES RECURRENTES

Sucesiones Recurrentes

Retos de la Sala

Sala de Arte: Alberto Durero

Autosimilitud

A continuación se incluyen los retos relacionados con esta sala. Anota las palabras o códigos obtenidos en cada uno para incluirlos en el formulario que aparece al final de la pantalla y obtener tu nueva pieza. Recuerda que, en caso de que decidas y consigas completar con éxito el reto Da Vinci Master, además de obtener la fórmula del antídoto podrás obtener también las llaves para descubrir el lugar en el que se oculta Da Vinci.

RETO 1: Cuadrado Mágico 9x9

Utiliza las flechas arriba y abajo de cada casilla para modificar los valores y completar un cuadrado mágico de orden 3 que debe contener todos los números del 1 al 9 (aunque los dos verdes aparecen ya fijos), y deben sumar lo mismo tanto las filas como las columnas y diagonales. Una vez conseguido, anota los resultados de cada casilla para completar la llave DUR 1. Te ofrecemos las siguientes pistas:

  1. ¿Cuál será la constante mágica de este cuadrado 3×3? Recuerda que todas sus filas, columnas y diagonales deben sumar ese valor. ¿Cómo podemos calcularlo?
  2. Si el cuadrado debe incluir todos los números del 1 al 9 sin repetirse, y el número central es el más compartido, ¿qué número crees que hay que colocar en el medio?

RETO 2: Sucesiones recurrentes I

A continuación se muestran una sucesión numérica y otra de letras, semejantes a las definidas anteriormente. Calcula el valor de los términos desconocidos de cada una (10 y 9 respectivamente) y utiliza esos resultados para completar la llave DUR 2 con el número seguido de la letra.

Sucesión numérica

Sucesión de letras

RETO 3: Sucesiones recurrentes II

A continuación se muestran una sucesión gráfica en la que sus elementos siguen un patrón determinado. Elige la figura correspondiente a la iteración solicitada (número 10) y anota su código para completar la llave DUR 3A.

Sucesión gráfica

FG6

FG6

BN2

BN2

JP8

JP8

WK3

WK3

Curva de Koch (Copo de Nieve)

En esta conocida figura, cada iteración de la curva está asociada a valores numéricos que también forman una sucesión recurrente. Completa la tabla correspondiente con los valores de los términos desconocidos a partir de los datos que se te ofrecen y el manejo del applet. Utiliza el valor obtenido en el perímetro de la décima iteración (sin decimales) para completar la llave DUR 3B.

Da Vinci Master

ABRIR RETO

Siguiendo las propiedades de recurrencia definidas en la descripción y los retos anteriores de esta sala, te proponemos ahora unas sucesiones un poco más complejas. Se trata de sucesiones gráficas que llevan asociadas otros valores numéricos definidos también por recurrencia (perímetro y/o área).

En esta figura, cada iteración está asociada a valores numéricos (el número de lados y el área) que también forman una sucesión recurrente. Completa la tabla con los valores de los términos desconocidos a partir de los datos que se te ofrecen y tus razonamientos.

  1. Introduce el valor del número total de segmentos en la iteración 10.
  2. Escribe los tres primeros decimales del área de esa misma figura.

Triángulo de Sierpinsky

En esta conocida figura, cada iteración está asociada a valores numéricos que también forman una sucesión recurrente: el perímetro y el área del triángulo. Completa la tabla correspondiente con los valores de los términos desconocidos a partir de los datos que se te ofrecen y el manejo del applet.

  1. Escribe el valor redondeado del perímetro en la iteración 10.
  2. Introduce los tres primeros decimales del área de esa misma figura.

Si se repitiera este proceso indefinidamente, y observando que el perímetro del triángulo va creciendo en cada iteración pero su área es cada vez menor que la anterior, ¿qué crees que ocurriría con el perímetro y el área de la figura si se continuara el proceso repetidamente?

Una vez hayas logrado superar los distintos retos de esta Sala de Arte dedicada a Alberto Durero, debes haber recogido diversos códigos que te darán otra de las piezas para la fórmula del antídoto. El cuestionario se compone de dos secciones, que deberás cumplimentar correctamente según este esquema:

Zona de Códigos

Es aquí donde debes introducir las claves obtenidas en cada una de las fases de esta Sala según el siguiente esquema:

  1. Cuadrado Mágico: Introduce los números que aparecen en las casillas solicitadas del cuadrado una vez completado con éxito el Reto 1.
  2. Recurrencia I: Introduce en cada casilla los códigos obtenidos al calcular los términos solicitados del Reto 2.
  3. Recurrencia II: Introduce en cada casilla los códigos obtenidos al descubrir los términos y medidas solicitadas en el Reto 3.

Da Vinci Master

En caso de que te atrevas con la compeljidad de los retos incluidos en esta versión PRO de la Aventura, es aquí donde debes introducir las claves obtenidas en ellos:

  1. Zona de Autor: Introduce la Clave de Autor que has obtenido al comienzo de esta sala tras cumplimentar el formulario correspondiente sobre la Ficha del Artista y su obra escondida en el Art-Puzzle.
  2. Reto PRO: Introduce los acuatro códigos numéricos obtenidos al resolver el Reto Da Vinci Master en el orden explicado en dicha sección.

    Sala de Arte: Alberto Durero


    Zona de Códigos

    DUR 1

    Introduce los dos números de las casillas solicitadas en el cuadrado mágico:

    DUR 2

    Introduce el número y la letra obtenidos en los términos de cada sucesión:

    DUR 3

    Introduce los códigos numéricos de las dos sucesiones gráficas:


    Da Vinci Master

    ¿Has conseguido resolver también el reto PRO?

    Introduce los cuatro códigos numéricos obtenidos en el reto:



    Datos de envío

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