La Geometría Fractal

Sala de Arte: Katsushika Hokusai

El Vengador de Turing

Código Da Vinci: Aventura Digital

Katsushika Hokusai

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Katsushika Hokusai

Japón, 31 octubre 1760 – 10 mayo 1849
y a los 110 años, cada punto, cada línea, poseerá vida propia

Maestro del Ukiyo-e (浮世絵), o el arte de los grabados japoneses entre los siglos XVII al XX, Hokusai fue uno de los artistas más prestigiosos de Japón y desde luego el artista japonés más internacional. De una humildad legendaria, se consideró siempre «un simple aprendiz» y firmó sus obras con distintos nombres, como «Shunro», «Sori», «Kako», «Taito», «Gakyonjin», «Iitsu» y «Manji». Muy trabajador, se levantaba temprano y pintaba hasta la noche, dibujando hasta el último día de su vida. Pese a ser un anciano, en sus últimos días fue adquiriendo más y más energía y espontaneidad. Gozó de un gran prestigio en la comunidad artística japonesa y sus grabados llegaron a occidente, donde los jóvenes artistas supieron captar su evidente y original genio.

Hokusai se integra con facilidad en la cultura popular occidental, siendo el primer japonés en exponer fuera del país, y sus imágenes son ya iconos globales de la historia del arte. Al abandonar el costumbrismo tradicional y entregarse a paisajes diámicos, místicos, peligrosos… en los que la figura humana juega un papel secundario, se hace evidente que tenía muchos puntos en común con el romanticismo. Pero plasmó también escenas de la nueva sociedad japonesa, ilustraciones para cuentos de fantasmas, retratos de actores y unos excelentes dibujos eróticos. Para él, el arte era un juego, una forma de divertir y divertirse. Sus dibujos, llegados a París a mediados del siglo XIX, fascinaron e influyeron en todos los impresionistas, de Monet a Van Gogh. Pero su influencia no acaba ahí: hay quien asegura que sin Hokusai, variadas disciplinas artísticas como la xilografía moderna, el diseño gráfico, el cómic, el manga e incluso el tatuaje no serían los mismos.

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Art-Puzzle

Obra Escondida - Autor: Katsushika Hokusai

Utiliza la biografía incluida en la Ficha del Artista y más información en Internet, contesta correctamente las cuestiones planteadas sobre el autor y su obra. Finalmente, introduce el código obtenido tras resolver el Art-Puzzle con la Obra escondida.

Introducción: La Geometría Fractal

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神奈川沖浪裏 Kanagawa oki nami ura (1830-1833) Katsushika Hokusai

La palabra fractal proviene del latín fractus, que significa “fragmentado”, “fracturado”, “roto” o “quebrado”. El término fue acuñado por Benoît Mandelbrot en 1977 en su libro The Fractal Geometry of Nature. Mandelbrot se dedicó toda la vida a buscar una base matemática simple para las formas irregulares del mundo real. Le parecía perverso que los matemáticos hubieran pasado siglos contemplando formas idealizadas como líneas rectas o círculos perfectos.

Sin embargo, no tenía una forma adecuada o sistemática de describir las formas ásperas e imperfectas que dominan el mundo real. Así que se preguntó si había algo único que definiera todas las formas variadas de la naturaleza. ¿Compartían alguna característica matemática común las esponjosas superficies de las nubes, las ramas de los árboles y los ríos, los bordes de las costas? Pues resulta que sí.

Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos y la corteza de los árboles no es lisa, ni los rayos viajan en línea recta

Benoit Mandelbrot

Hay muchos objetos ordinarios que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales, aunque no los reconozcamos. Las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos son fractales naturales aunque finitos ergo no ideales; no así como los fractales matemáticos que gozan de infinidad y son ideales.

¿Qué son los fractales?

Características, ejemplos y aplicaciones

Es difícil dar una definición clara y asequible a todo el mundo de lo que es un fractal, pero podemos definirlo como un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escalas. Esto se traduce en sus tres propiedades matemáticas fundamentales:

Autosimilitud

Una figura es autosimilar (Sala de Kerry Mitchell) si una o varias de sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y estar ligeramente deformadas. En este sentido, se distinguen tres tipos de autosimilitud: exacta, aproximada y estadística.

Recursividad / Iteratividad

Un fractal se genera también mediante un proceso iterativo o de recurrencia (Sala de Alberto Durero). Esto significa que cada figura se obtiene a partir de la repetición continuada del mismo patrón aplicado a la figura anterior. Observa como la curva de Koch se genera cambiando el tercio central de cada segmento por otros dos de igual longitud.

Dimensión no entera

A diferencia de la geometría tradicional (recta = dimensión 1, plano = dimensión 2, etc.), un fractal tiene dimensión fraccionaria (no entera). Si observas el Copo de Nieve de Vicsek, en su quinta iteración, la figura es «menos que un área» pero su grosor es «más que una línea», por lo que su dimensión estará entre 1 y 2.

Fractales Matemáticos

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Un fractal matemático es un conjunto generado por recurrencia (mediante un proceso iterativo) con autosimilitud exacta a cualquier escala (o aproximada, como el Fractal de Mandelbrot de la imagen) y cuya dimensión no es entera sino fraccionaria. Es decir, el objeto fractal es idéntico o casi igual al todo en sus partes y/o a distintas escalas. Además de los ya vistos, existen una gran cantidad de fractales construidos a través de procesos geométricos o matemáticos. A continuación se incluyen algunos de los más conocidos tanto en dos como en tres dimensiones:

1. Fractales de Sierpinski

Los fractales de Sierpinski son quizás los más conocidos en dos dimensiones por la facilidad de su construcción, ya que el proceso iterativo se aplica a figuras sencillas. Utiliza los deslizadores en los applets para ver las distintas iteraciones de los fractales propuestos:

Triángulo de Sierpinski

Alfombra de Sierpinski

Hexágono de Sierpinski

2. Fractales en 3D

Fractal de Vicsek 3D

Tetraedro de Sierpinski

Esponja de Menger

+ LA DIMENSIÓN FRACTAL +

La dimensión Fractal

3Blue1Brown

Aplicaciones de los Fractales

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La geometría fractal trata de modelar y describir muchos fenómenos naturales y experimentos científicos, y se ha transformado en pocos años en una herramienta multidisciplinar utilizada por científicos, médicos, artistas, sociólogos, economistas, meteorólogos, músicos, informáticos… En esta sección, descubriremos algunas de las aplicaciones de los fractales en la actualidad.

La geometría fractal es un nuevo idioma que, una vez aprendido, nos permitirá describir la caprichosa forma de una masa nubosa tan precisamente como un arquitecto describe en sus planos la casa a construir

Michael Barnsley (Universidad Nacional de Australia)

1. Naturaleza

El Medio Natural

La Geometría Fractal ha permitido explorar matemáticamente las “irregularidades” de la naturaleza en muchas de sus formas. ¿Qué lógica siguen las ramas de un árbol cuando crecen? O los picos de las montañas, la formación de los ríos, la trayectoria de una bandada de pájaros, el ciclo de crecimiento de los microbios… Estos y muchos otros fenómenos naturales se pueden desencriptar gracias a la geometría fractal.

2. Cuerpo Humano

Medicina y Cuerpo Humano

Nuestros pulmones, el sistema sanguíneo o el cerebro, por ejemplo, tienen estructuras fractales. Los pulmones con una superficie cerrada poseen curvas de longitud infinita con grandes grupos de perfiles curvos con exactamente los mismos límites, maximizando así su superficie de intercambio. Las aplicaciones de la Geometría Fractal están generando también importantes avances en el campo de la medicina. En el tratamiento del cáncer, por ejemplo, es útil para desvelar la arquitectura patológica de los tumores y sus mecanismos de crecimiento.

3. Geología y geografía

Geología y Geografía

En su estudio «¿Cuánto mide la costa de Inglaterra?» Mandelbrot demostró cómo la geometría fractal ayudaba a conseguir medidas más precisas para este tipo de accidentes naturales. Utilizando «reglas de medida» más y más pequeñas se obtienen resultados más precisos pero, a su vez, cada vez mayores. ¿Hasta cuando habría que reducir el tamaño de estas rectas para conseguir, no una aproximación, sino la medida real? La sorprendente respuesta a la pregunta de Mandelbrot es que la costa de Gran Bretaña mide infinitos kilómetros.

4. El Universo

El Universo y los fenómenos meteorológicos

La concepción del Universo como un acontecimiento infinito se enmarca dentro de un paradigma científico que concibe la naturaleza como fractal. En los últimos tiempos, gracias a sorprendentes descubrimientos, el modelo fractal del cosmos ha ganado mayor validez científica, permitiendo obtener una imagen más nítida de la realidad y de los complejos fenómenos del Universo. La formación de las estrellas en una galaxia o la trayectoria de los rayos en una tormenta, entre otras, son explicables mediante la geometría fractal.

5. Arte, Diseño, Cine y Música

Arte, Diseño, Cine y Música

El Fractalismo es un movimiento artístico surgido en la última década del siglo XX derivado del concepto matemático de Fractal. El arte fractal, desarrollado a partir de la creación de patrones autosimilares, no sólo se ha desarrollado en el diseño gráfico, sino que ha generado corrientes similares en la música. Las aplicaciones de la Geometría Fractal en el cine y la televisión son también innumerables hoy día.

5. Nuevas Tecnologías

Nuevas Tecnologías

Es entendible que el desarrollo de tecnologías que dependen de fenómenos físicos, como las telecomunicaciones, también hagan uso de los fractales para optimizar su rendimiento. Este es el caso de las antenas que utilizan esta base matemática para alcanzar un rango más amplio de frecuencias, muy comunes en dispositivos inalámbricos. Las antenas de los teléfonos móviles en la actualidad están construidas con el fractal de la alfombra de Sierpinski.

+ DOCUMENTAL FRACTALES +

Fractales: La dimensión oculta

Documental NOVA

Retos de la Sala

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Fractales

A continuación se incluyen los retos relacionados con esta sala. Anota las palabras o códigos obtenidos en cada uno para incluirlos en el formulario que aparece al final de la pantalla y obtener tu nueva pieza. Recuerda que, en caso de que decidas y consigas completar con éxito el reto Da Vinci Master, además de obtener la fórmula del antídoto podrás obtener también las llaves para descubrir el lugar en el que se oculta Da Vinci.

RETO 1: Iteración Fractal

A continuación se muestran un conjunto de imágenes sobre diversos fractales matemáticos de los estudiados. En cada uno de ellos, te ofrecemos las dos primeras iteraciones (n=0 y n=1). Deberás identificar a qué número de iteración (n) corresponde la siguiente imagen de ese fractal. Finalmente, obtendrás un código numérico de 4 cifras (1 de cada fractal) que se corresponde con la llave HOKU 1.

Pentágono de Sierpinski

n=0

n=1

n=?

Curva de Koch (Snowflake o Copo de Nieve)

n=0

n=1

n=?

Aspas de Vicsek

n=0

n=1

n=?

Árbol de Pitágoras

n=0

n=1

n=?

RETO 2: Descubriendo Fractales

A continuación se muestran un conjunto de fotografías donde aparecen diferentes objetos de diversos campos (naturaleza, cuerpo humano, arte, tecnología, etc.). De todas las imágenes, sólo 10 fotografías representan objetos fractales o con estructura fractal, y el resto de ellas no. Deberás identificar de cuáles se trata y anotar la letra que aparece oculta en cada una de ellas. Finalmente, uniendo correctamente esas 10 letras obtenidas, obtendrás una palabra secreta que se corresponden con la llave HOKU 2.

F

M

U

A

S

N

B

P

O

T

D

L

C

I

G

J

E

V

Z

R

RETO 3: El Fractal de Vicsek

La construcción de este fractal de Vicsek se da de la siguiente manera:

  1. El procedimiento se inicia con un cuadrado.
  2. El cuadrado se corta en 9 sectores iguales, formándose una cuadrícula de 3×3. Los cuatro sectores de las esquinas se eliminan, mientras que los otros se conservan, obteniendo una figura con forma de cruz.
  3. El paso anterior vuelve a aplicarse a cada uno de los cuadrados no eliminados de forma recursiva.

Una construcción alternativa, vista anteriormente, consiste en mantener los cuatro cuadrados de las esquinas y el cuadrado del medio, creando curvas límites idénticas pero con un giro de 45 grados una con respecto de la otra.

Supongamos que partimos de un cuadrado de lado 1. Mueve el deslizador para analizar las primeras iteraciones del fractal y, según la construcción indicada en los pasos anteriores, contesta a las siguientes preguntas del RETO:

  1. Estudia cuántos cuadrados formarán la figura para n=5.
  2. ¿Por cuánto se divide la longitud del lado de cada cuadrado en cada iteración?
  3. Escribe los tres primeros decimales del área de la figura para la iteración n=5.
  4. Introduce la longitud del perímetro de la figura en la quinta iteración (sin decimales).

¿A qué valores crees que se acercarán cada una de las medidas anteriores (perímetro y área) conforme n se vaya haciendo más y más grande?

Da Vinci Master

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El Tetraedro de Sierpinski

Ahora que conoces mejor la estructura y el sistema de construcción de varios fractales matemáticos en dos dimensiones, te propongo un reto que va un poco más allá. Analizar algunas propiedades de un fractal en 3D: el conocido tetraedro de Sierpinski. Utiliza las flechas para mover el objeto y avanza el deslizador del applet para conocer las primeras iteraciones de esta figura. A partir de esta revisión, contesta a las preguntas planteadas.

A partir de un tetraedro regular (pirámide con cuatro caras formadas por triángulos equiláteros), esta figura de Sierpinski se construye de manera similar al triángulo del mismo creador, pero la geometría espacial añade significativas diferencias… Trata de contestar a estas cuestiones:

  1. ¿Cuántos tetraedros habrá en la iteración número 4?
  2. ¿Cuántas aristas habrá entonces en esa iteración número 4?
  3. ¿Por cuánto se divide el volumen de la figura en cada iteración?
  4. Siguiendo la secuencia del applet, ¿a qué número de iteración n correponde la imagen inferior?

Una vez hayas logrado superar los distintos retos de esta Sala de Arte dedicada a Katsushika Hokusai y a la Geometría Fractal, debes haber recogido diversos códigos que te darán otra de las piezas para la fórmula del antíoto. El cuestionario se compone de dos secciones, que deberás cumplimentar correctamente según este esquema:

Zona de Códigos

Es aquí donde debes introducir las claves obtenidas en cada una de las fases de esta Sala según el siguiente esquema:

  1. Iteración Fractal: Introduce el código numérico de cuatro cifras obtenido a partir del número de iteración correspondiente a cada una de las imágenes del Reto 1 en el orden en que aparecen.
  2. Descubriendo Fractales: Introduce la palabra de 10 letras obtenida al seleccionar correctamente las 10 imágenes que se corresponden con fractales del Reto 2.
  3. Fractal de Vicsek: Introduce los cuatro códigos numéricos obtenidos tras completar el Reto 3.

Da Vinci Master

En caso de que te atrevas con la compeljidad de los retos incluidos en esta versión PRO de la Aventura, es aquí donde debes introducir las claves obtenidas en ellos:

  1. Zona de Autor: Introduce la Clave de Autor que has obtenido al comienzo de esta sala tras cumplimentar el formulario correspondiente sobre la Ficha del Artista y su obra escondida en el Art-Puzzle.
  2. Reto PRO: Introduce los códigos numéricos obtenidos al resolver el Reto Da Vinci Master en el orden en que aparecen en dicha sección.

    Sala de Arte: Katsushika Hokusai


    Zona de Códigos

    HOKU 1

    Introduce el código de 4 números:

    HOKU 2

    Introduce la palabra de 10 letras escondida:

    HOKU 3

    Introduce los códigos numéricos del fractal de Vicsek:


    Da Vinci Master

    ¿Has conseguido resolver también el reto PRO?

    Introduce los cuatro códigos numéricos obtenidos en el reto:



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